如何计算逆矩阵

在本页中，您将了解它是什么以及如何通过行列式（或伴随矩阵）方法和高斯方法计算矩阵的逆。您还将看到逆矩阵的所有属性，并且还将找到每种方法的逐步求解示例和练习，以便您完全理解它们。最后，我们解释了一个快速求逆 2×2 矩阵的公式，甚至解释了该矩阵运算的最大用途：求解线性方程组。

什么是矩阵的逆矩阵？

是

方阵。的逆矩阵

写着

，这个矩阵满足：

金子

是单位矩阵。

什么时候可以对矩阵求逆，什么时候不能？

确定矩阵可逆性的最简单方法是使用其行列式：

如果所讨论的矩阵的行列式不为0，则意味着该矩阵是可逆的。在这种情况下，我们说它是一个正则矩阵。此外，这意味着该矩阵具有最大秩。

另一方面，如果矩阵的行列式等于0，则矩阵无法求逆。并且，在这种情况下，我们说它是奇异矩阵或简并矩阵。

主要有两种求逆矩阵的方法：行列式或伴随矩阵方法和高斯方法。下面是第一个的解释，但您也可以参考下面如何使用高斯方法求逆矩阵。

使用行列式方法（或使用邻接矩阵）对矩阵求逆

要计算矩阵的逆，

，必须应用以下公式：

金子：

是矩阵的行列式

是的伴随矩阵

参展商

表示矩阵转置，即附加矩阵应该转置。

点评：有些书使用了稍微不同的逆矩阵公式：他们首先转置矩阵A，然后计算其伴随矩阵，而不是先计算伴随矩阵然后转置它。实际上，顺序并不重要，因为结果完全相同。在这里，我们为您留下了对修改后的矩阵求逆的公式，以防您更喜欢使用这个公式：

然后我们将通过解决一个练习为例来了解如何找到矩阵的逆：

使用行列式方法（或伴随矩阵）计算逆矩阵的示例：

计算以下矩阵的逆矩阵：

为了确定矩阵的逆，我们必须应用以下公式：

但如果矩阵的行列式为零，则意味着该矩阵不可逆。因此，首先要做的是计算矩阵的行列式并检查它是否不等于 0：

行列式不为0 ，因此矩阵可逆。

因此，将行列式的值代入公式，则矩阵的逆为：

我们现在必须计算 A 的副矩阵。为此，我们必须用其副矩阵替换矩阵 A 的每个元素。

请记住，要计算附件

，也就是说行元素

和专栏

，必须应用以下公式：

其中补余小数为

是消除行的矩阵的行列式

和专栏

。

因此，矩阵 A 的元素代表为：

注释：不要将行列式 1×1 与绝对值混淆，因为在行列式 1×1 中，数字不会转换为正数。

计算出代表人数后，只需将 A 的元素替换为其代表即可找到A 的代表矩阵：

注释：在某些地方，伴随矩阵是我们这里定义的伴随矩阵的转置。

因此，我们将所附矩阵代入逆矩阵公式，则变为：

参展商

这告诉我们需要转置矩阵。要转置矩阵，必须将其行更改为列，也就是说，矩阵的第一行变为矩阵的第一列，第二行变为第二列：

最后，我们将矩阵的每一项乘以

用行列式（或邻接矩阵）方法解决逆矩阵的练习

练习1

使用伴随矩阵方法对以下 2×2 维矩阵求逆：

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逆矩阵公式为：

我们首先计算矩阵的行列式：

行列式不等于0，因此可以对矩阵求逆。

现在让我们计算 A 的伴随矩阵：

一旦计算出矩阵的行列式及其伴随矩阵，我们将它们的值代入以下公式：

我们转置附加矩阵：

因此 A 的逆矩阵为：

练习2

使用行列式方法对以下方阵求逆：

查看解决方案

逆矩阵公式为：

我们首先计算矩阵的行列式：

行列式不等于0，因此可以对矩阵求逆。

现在让我们计算 A 的伴随矩阵：

一旦找到矩阵的行列式及其伴随矩阵，我们将它们的值代入公式：

我们转置附加矩阵：

我们将每个元素乘以

因此 A 的逆矩阵为：

练习3

使用伴随矩阵方法对以下 3×3 维矩阵求逆：

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逆矩阵公式为：

我们首先用 Sarrus 规则求解矩阵的行列式：

行列式不等于0，因此可以对矩阵求逆。

一旦求解了行列式，我们就可以找到 A 的伴随矩阵：

一旦我们计算了矩阵的行列式及其伴随物，我们将它们的值代入以下公式：

我们转置附加矩阵：

则逆矩阵A为：

练习4

使用伴随矩阵方法对以下 3 阶矩阵求逆：

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逆矩阵公式为：

我们需要先计算矩阵的行列式，因为如果行列式为0，则意味着矩阵没有逆矩阵。

A的行列式为0，因此矩阵不能求逆。

练习5

用行列式矩阵法对以下 3 × 3 方阵求逆：

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逆矩阵公式为：

首先我们用 Sarrus 规则求解矩阵的行列式：

行列式不等于0，因此可以对矩阵求逆。

一旦求解了行列式，我们就可以找到 A 的伴随矩阵：

一旦我们计算了矩阵的行列式及其伴随物，我们将它们的值代入以下公式：

我们转置附加矩阵：

最后，我们操作：

使用高斯方法求逆矩阵：

要使用高斯方法计算矩阵的逆，必须对矩阵的行进行运算（我们稍后会看到）。因此，在了解如何使用高斯方法之前，了解可以对矩阵行执行的所有操作非常重要：

高斯方法中允许的线变换

更改矩阵的行顺序。

例如，我们可以更改矩阵第 2 行和第 3 行的顺序：

将一行中的所有项乘以或除以0 以外的数字。

例如，我们可以将第 1 行乘以 4，并将第 3 行除以 2：

将一行替换为同一行加上另一行乘以一个数字的总和。

例如，在以下矩阵中，我们将第 3 行乘以 1 添加到第 2 行：

使用高斯方法计算逆矩阵的示例：

让我们通过一个例子来看看如何应用高斯方法来求逆矩阵：

计算以下矩阵的逆矩阵：

我们需要做的第一件事是将A 矩阵和单位矩阵合并为一个矩阵。左边是A矩阵，右边是单位矩阵：

为了计算逆矩阵，我们需要将左矩阵转换为单位矩阵。为此，我们需要对行进行转换，直到到达那里。

我们按列进行操作，也就是说我们对行进行操作，首先变换第一列的数字，然后变换第二列的数字，最后变换第三列的数字。

第一列中的 1 和 0 已经合适，因为单位矩阵在这些位置也有 1 和 0。因此，此时无需对这些行应用转换。

然而，单位矩阵第一列的最后一个元素为 0，而现在为 1。因此我们需要将 1 转换为 0。为此，我们将行 1 乘以 – 添加到行 3.1 中：

因此，如果我们进行求和，我们最终会得到以下矩阵：

这样我们就成功地将1变成了0。

现在让我们继续看左侧矩阵的第二列。第一个元素是 0，这很好，因为单位矩阵在同一位置有一个 0。然而，应该是 1，而不是 2，所以我们将第二行除以 2：

另外，在第二列中，我们还需要将 5 变成 0。因为 5 比第二行中的 1 大五倍，所以我们将第 2 行乘以 -5 添加到第 3 行：

因此，通过执行此操作，我们最终得到第二列最后一个元素为 0 的矩阵：

最后，我们将矩阵的最后一列向左变换，但这一次我们必须从底部开始。因此有必要改造

变成 1。因此，我们将最后一行乘以 2：

我们现在必须转变

最后一列的余数为 0。但是，这次我们不能将该行乘以 2，因为我们还会将 1 转换为 2（当单位矩阵在该位置有 1 时）。因此，我们将第 3 行除以 -2 添加到第 2 行：

因此，通过执行此操作，我们成功地改变了

在 0 中：

最后，我们只需要将第三列第一行中的 1 转换为 0。第三行同一列中也有一个 1，因此我们将第 3 行乘以 -1 添加到第 1 行：

通过执行此操作，我们可以将 1 转换为 0：

一旦我们成功地将左矩阵转换为单位矩阵，我们也就知道了逆矩阵。因为逆矩阵就是我们将左矩阵转为单位矩阵在右边得到的矩阵。因此矩阵的逆为：

用高斯方法解决逆矩阵的练习

练习1

通过高斯方法对以下矩阵求逆：

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我们需要做的第一件事是将 A 矩阵和单位矩阵合并为一个矩阵。左边是A矩阵，右边是单位矩阵：

现在，为了计算逆矩阵，我们需要将左侧矩阵转换为单位矩阵。为此，我们需要对行进行转换，直到到达那里。

第一项 1 已经与单位矩阵相同。因此，此时无需对第一行应用转换。

但是，单位矩阵第一列的最后一个元素为 0，而现在为 1。因此，我们需要将 1 转换为 0。为此，我们从第 2 行中减去第 1 行：

我们继续看第二列：下面的 1 很好。但不是上面的 2，因为单位矩阵在该位置有一个 0。因此，为了将 2 转换为 0，我们从第 1 行减去第 2 行乘以 2：

逆矩阵就是我们将左边的矩阵转换为单位矩阵后得到的右边的矩阵。现在我们在左侧得到了单位矩阵。因此逆矩阵为：

练习2

使用高斯过程对以下矩阵求逆：

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首先，我们将 A 矩阵和单位矩阵放入一个矩阵中：

现在我们需要变换行，直到将左矩阵转换为单位矩阵。

左矩阵的第一列已经与单位矩阵的第一列相同。因此没有必要修改其任何数字。

然而，单位矩阵第二列的第二个元素中有一个 1，其中现在有一个 3。因此，我们必须将 3 转换为 1。为此，我们从第 2 行减去第 3 行乘以 2：

单位矩阵第二列的最后一个元素中有一个 0，而现在有一个 1。因此，我们必须将 1 转换为 0。为此，我们从第 3 行中减去第 2 行：

单位矩阵第二列的第一个元素中有一个 0，而现在有一个 1。因此，我们必须将 1 转换为 0。为此，我们从第 1 行中减去第 2 行：

我们现在要做的就是将 -4 转换为 0。为此，我们将第 3 行乘以 4 添加到第 1 行：

我们已经从左侧获得了单位矩阵。因此逆矩阵为：

练习3

使用高斯方法对以下矩阵求逆：

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在开始操作之前，我们需要将A矩阵和单位矩阵合并成一个矩阵：

我们现在必须通过对行进行操作将左矩阵转换为单位矩阵。

第一列的前两个元素已经与单位矩阵的前两个元素相同。因此没有必要修改这些数字。

但是单位矩阵第一列的第三个元素中有一个 0，其中现在有一个 2。因此，我们必须将 2 转换为 0。为此，我们从第 3 行减去第 1 行乘以 2：

单位矩阵第二列的第一个元素中有一个 0，现在有一个 2。因此，我们必须将 2 转换为 0。为此，我们从第 1 行减去第 2 行乘以 2：

单位矩阵第二列的最后一个元素为 0，现在为 -4。因此，我们必须将 -4 转换为 0。为此，我们将第 2 行乘以 4 添加到第 3 行：

我们现在要做的就是将第三列的第一个元素转换为 0。为此，我们将第 3 行乘以 -1 添加到第 1 行：

我们已经意识到左边的矩阵是单位矩阵。所以矩阵的逆

东方：

练习4

使用高斯方法对以下矩阵求逆：

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我们需要做的第一件事是将 A 矩阵和单位矩阵连接成一个矩阵：

我们现在必须通过应用行运算将左侧的矩阵转换为单位矩阵。

第一列的第一个元素已经与单位矩阵的第一个元素相同。因此没有必要改变它。

然而，单位矩阵第一列的第二个元素中有一个 0，而现在有一个 1。因此，我们必须将 1 转换为 0。为此，我们从第 2 行中减去第 1 行：

我们继续看第二列：我们首先将第二行除以 4，将 4 转换为 1：

单位矩阵第二列的第一个元素为 0，现在为 -2。因此，我们必须将 -2 转换为 0。为此，我们将第 2 行乘以 2 添加到第 1 行：

单位矩阵第二列的最后一个元素中有一个 0，现在有一个 3。因此，我们必须将 3 转换为 0。为此，我们从第 3 行减去第 2 行乘以 3：

我们继续第三列：我们必须改造最后一个

变成 1。为此，我们将第三行乘以 2：

单位矩阵最后一列的第二个元素为 0。因此有必要将其转换为

变成 0。为此，我们从第 2 行减去第 3 行除以 2：

我们现在要做的就是将第三列的第一个元素转换为 0。为此，我们从第 1 行中减去第 3 行：

因此逆矩阵为：

最后，逆矩阵的分数可以简化：

逆矩阵性质

逆矩阵具有以下特点：

矩阵的逆矩阵是唯一的。

逆矩阵的逆就是原矩阵：

两个矩阵相乘的逆矩阵等于矩阵逆矩阵的乘积，但改变了它们的顺序。

对矩阵进行转置，然后对矩阵求逆，就像先对矩阵求逆，然后对它进行转置。

为了求解矩阵的逆矩阵的行列式，我们可以计算矩阵的行列式，然后对其求逆，因为这两个运算给出相同的结果。

快速计算 2×2 矩阵逆的公式

正如我们所见，任何矩阵都可以通过行列式方法或高斯方法求逆。但是，另外还有一个公式可以快速找到 2×2 矩阵的逆矩阵：

如您所见，求逆 2×2 矩阵很简单：只需求解矩阵的行列式

，交替主对角线元素的位置，并更改次对角线元素的符号。

如何使用以下公式获得 2 × 2 逆矩阵的示例

计算以下 2 × 2 方阵的逆矩阵：

矩阵 A 的行列式为：

现在我们应用逆矩阵公式：

我们将矩阵乘以分数：

因此，逆矩阵 A 为：

正如您所看到的，使用此公式对矩阵求逆要快得多，但它只能用于维度为 2×2 的矩阵。

用以下公式解决 2×2 逆矩阵的练习

练习1

对以下 2×2 维矩阵求逆：

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矩阵 A 的行列式为：

现在我们应用公式来求逆矩阵：

因此，矩阵 A 的逆矩阵为：

练习2

计算以下 2 阶矩阵的逆矩阵：

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矩阵 A 的行列式为：

现在我们应用公式来求解 2×2 维的逆矩阵：

最后，我们进行乘法：

练习3

反转以下 2×2 矩阵：

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矩阵 A 的行列式为：

现在我们应用公式来计算维度为 2×2 的逆矩阵：

最后，我们计算分数和矩阵之间的乘积：

练习4

求以下二阶矩阵的逆矩阵：

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矩阵 A 的行列式为：

现在我们应用公式来创建维度为 2×2 的逆矩阵：

最后，我们进行乘法：

用逆矩阵求解方程组

理解矩阵逆的实际应用是很困难的。事实上，您可能想知道……逆矩阵有什么用？它真的有什么用途吗？

嗯，逆矩阵的用途之一是求解线性方程组。是的，尽管它们看起来像是两个截然不同的概念，但可以通过矩阵求逆来找到方程组的解。

让我们通过一个例子来看看这是如何完成的：

使用逆矩阵计算以下方程组的解：

首先，必须观察到方程组可以用矩阵的形式表示：

我们可以验证系统的这种矩阵形式与方程的表达式等效：如果我们将矩阵相乘，我们将看到我们得到系统的两个方程。

现在，为了简化后续步骤，我们将调用

具有未知数系数的矩阵，

到具有未知数的矩阵列，以及

到具有独立项的列矩阵：

所以矩阵

是矩阵方程的未知数。

要求解此矩阵方程，您必须遵循我们在此不详细解释的过程。如果你想完全理解它，你可以查看如何用矩阵求解方程，我们一步步解释整个过程。

此过程基于逆矩阵的属性：任何矩阵乘以其逆矩阵都等于单位（或单位）矩阵。因此，未知矩阵可以很容易地求解

将方程两边同时乘以矩阵 A 的逆矩阵：

一旦我们分离出矩阵

，我们计算的倒数

我们求解矩阵的乘积：

因此，方程组的解为：